Detectar oro falso, el infalible Principio de Arquimedes

Imaginemos que tenemos unos cuantos billetes ahorrados, a modo de blindaje económico en caso de un default económico, o para invertirlo en algún emprendimiento.Como todos saben, el oro a sido siempre, pase lo que pase, a lo largo del tiempo el centro de la economía mundial.

http://es.wikipedia.org/wiki/Patrón_oro

Por lo tanto en algún momento seguramente estaremos interesados en invertir en oro con el fin de proteger nuestros ahorros.
Entonces seguramente necesitaremos un método sencillo, económico y fiable para comprobar que lo que estamos comprando es realmente oro verdadero; para ello nos valdremos del antiquísimo Principio de Arquimedes. Veamos como funciona.
Lo que Arquimedes descubrió, es que todos los líquidos generan una fuerza ascendente igual al peso de igual volumen de agua que la parte sumergida de un objeto, a esta fuerza ascendente se le llama empuje. Por ejemplo, supongamos que tenemos un cubo de acero de 10cm de lado, y lo tiramos adentro de un recipiente con agua, este se sumergirá completamente hasta el fondo, el empuje que el agua ejerce sobre el cubo es es igual al peso de un volumen de agua de 1000cm³(el volumen del cubo), la densidad del agua es aproximadamente 1kg/litro, y si tomamos g = 9,8m/s², entonces el empuje que ejerce el agua sobre el cubo de acero es de 9,8N.

$E=\rho_{liquido}gV_{objeto}=1\frac{kg}{L}\times 9.8\frac{m}{s^2}\times 1L=9.8N$



Ahora bien, todos hemos sentido, que cuando nos metemos en la pileta, nuestro cuerpo se siente menos pesado. Este peso virtual es el resultado de la diferencia entre nuestro peso real(hueso, musculo, grasa, ropa, etc.) y el empuje ejercido por el liquido(agua, cloro, etc.). Y como ademas sabemos que ρ_liquido < ρ_metales, para lo que nos interesa, entonces el oro se hunde completamente en el agua, y podemos utilizar la formula:

$T=P_{objeto}-\rho_{liquido}gV_{objeto}=m_{objeto}g-\rho_{liquido}gV_{objeto}$



Ahora, y de que nos sirve calcular el valor de T? Por que a T lo podemos medir usando un sencillo dinamómetro mecánico(un tubo de metal metido dentro de otro y unidos por un resorte) o digital(que salen mas caro, pero son mas precisos).



Ok, pero resulta que los lingotes de oro no tienen una forma regular, y por lo tanto su volumen V es totalmente desconocido, veamos como eliminar dicha incógnita.
La densidad de un objeto esta determinada por:

$\rho=\frac {m}{V}$

Despejando V:

$V=\frac {m}{\rho}$

Y reemplazando en la formula:

$T=m_{objeto}g-m_{objeto}g\left (\frac {\rho_{liquido}}{\rho_{objeto}}\right )$

Y despejando, tenemos:

$T=m_{objeto}g\left (1-\frac {\rho_{liquido}}{\rho_{objeto}}\right )$

O sea:

$T=P\left (1-\frac {\rho_{liquido}}{\rho_{objeto}}\right )$

Tanto la densidad del agua(1000 Kg/m³) como la del oro(19300 Kg/m³) son conocidas, P es el peso del lingote de oro medido en el aire usando el dinamómetro, y T es el peso medido por el dinamómetro al meter el lingote en el vaso con agua.
Esa variación de peso será lo que nos indique si el lingote de oro es verdadero o falso.



Veamos un ejemplo. Supongamos que tenemos un lingote de oro que pesa 250g 24K(oro puro), cual debería ser su pero en agua?

Datos:

P = 250g
ρ_liquido = 1000kg/m³
ρ_objeto = 19300kg/m³

Por lo tanto tenemos:

$T=250g\times\left (1-\frac {1000\frac {kg}{m^3}}{19300\frac {kg}{m^3}}\right)=237g$

O sea un lingote de oro 24K experimenta una reducción del 5% de su peso en agua.
Ahora, resulta que el oro puro es frágil y quebradizo, recuerden las películas en las cuales se hace referencias a personas que van al río a buscar oro con una zaranda, y que siempre hablan de pepitas de oro en lugar de piedras, eso se debe a que las pepitas son el estado natural del oro, porque como dijimos, es frágil y tiende a desgranarse.
Entonces para evitar que el oro se desgrane, se alea con otros metales para crear un material mas duro y fácil de mantener y distribuir.

Veamos algunas aleaciones:

• Oro amarillo = 1000 g de oro amarillo contienen 750 g de oro, 125 g de plata y 125 g de cobre.
• Oro rojo = 1000 g de oro rojo contienen 750 g de oro y 250 g de cobre.
• Oro rosa = 1000 g de oro rosa contienen 750 g de oro, 50 g de plata y 200 g de cobre.
• Oro blanco = 1000 g de oro blanco contienen 750 g de oro y 160 g de paladio y 90 g de plata.
• Oro gris = 1000 g de oro gris contienen 750 g de oro, alrededor de 150 g de níquel y 100 g de cobre
• Oro verde = 1000 g de oro verde contienen 750 g de oro y 250 g de plata.
• Oro azul = 1000g de oro azul contienen 750 g de oro y 250 g de hierro.

Todas estas proporciones son para oro 18K(75% oro puro), el oro 18K es considerado como la mejor aleación posible, pero también existen aleaciones de 14K(58% oro puro) y 10K(42% oro puro), que son que son de menor calidad.

http://es.wikipedia.org/wiki/Oro

Pero resulta que entonces la formula que habíamos utilizado anteriormente ya no funciona, porque ya no estamos pesando oro puro sino una aleación, y su densidad ya no es la del oro. Calculemos entonces cual seria la densidad de la aleación.
Tenemos que:

$m_i=\sum_{n=1}^{n=N}m_n$

Y que:

$V_i=\sum_{n=1}^{n=N}V_n$

Esto se debe a que la densidad de los metales es muy alta y podemos suponer que con la aleación, la densidad parcial de cada metal no va a cambiar demasiado.

Por lo tanto la densidad total de material es:

$\rho_t=\frac {\sum_{n=1}^{n=N}m_n}{\sum_{n=1}^{n=N}V_n}$

Pero nuevamente tenemos el problema de que desconocemos los volúmenes de las muestras, así que nuevamente empleamos la formula:

$V_n=\frac {m_n}{\rho_n}$

Y reemplazamos:

$ \rho_t=\frac {\sum_{n=1}^{n=N}m_n}{\sum_{n=1}^{n=N}\frac {m_n}{\rho_n}}$

Pero en lugar de usar las masas parciales, podríamos utilizar el indice o porcentaje de cada muestra dentro de la aleación.

$m_n=i_nm_t$

Y de esta forma...

$\rho_t=\frac {m_t}{\sum_{n=1}^{n=N}\frac{i_nm_t}{\rho_n}}$

Simplificamos la ecuación.

$\rho_t=\frac {1}{\sum_{n=1}^{n=N}\frac {i_n}{\rho_n}}$

Y finalmente reemplazamos en la formula general

$T=P\left (1-\rho_{liquido}\sum_{n=1}^{n=N}\frac {i_n}{\rho_n}\right )$

Como ejemplo, calculemos la densidad del oro amarillo.
Datos:

75% de oro(19300kg/m³).
12,5% de plata(10490kg/m³.
12,5% de cobre(8960kg/m³).

Por lo tanto tenemos:

$\rho_t=\frac{1}{\frac{0.75}{19300\frac{kg}{m^3}}+\frac{0.125}{10490\frac{kg}{m^3}}+\frac{0.125}{8960\frac{kg}{m^3}}}=15450\frac{kg}{m^3}$

Como podemos apreciar, la densidad se a reducido en un 20% con respecto al oro puro.
Ahora calculemos cual seria el peso en agua de 1000g de oro amarillo.

$T=1000g\times\left(1-\frac{1000\frac{kg}{m^3}}{15450\frac{kg}{m^3}}\right)=935g$

Esto significa que un lingote de oro amarillo experimenta una reducción del 7% en su peso al ser introducido en agua.
Tomemos como ejemplo un lingote de oro de 1000g y veamos cual sería la reducción de su peso en agua.

Tipo	Reducción
Oro puro 24K	5,18%
Oro amarillo 18K	6,47%
Oro rojo 18K	6,68%
Oro rosa 18K	6,60%
Oro blanco 18K	6,08%
Oro gris 18K	6,69%
Oro verde 18K	6,27%
Oro azul 18K	7,06%

Como podemos apreciar en la tabla, si en algún momento tuviéramos que comprar oro, la mejor opción seria comprar oro blanco, por su dureza y su baja reducción de peso(la mas cercana al oro puro que el resto), eso significa que el oro blanco es de mejor calidad que el resto.
Hay que aclarar, que el liquido no necesariamente debe ser agua, también puede ser aceite, acetona, alcohol, jugo de naranja, vino, cerveza, etc.. Cualquier liquido es valido mientras conozcamos su densidad.
Ahora, la pregunta clave aquí es, ¿Seria posible falsificar oro? O sea, ¿Seria posible mediante materiales mas económicos y de menor calidad crear una aleación similar al oro y capaz de burlar al método de Arquimedes?
En principio, para burlar este método de medición necesitamos una aleación cuyo peso en aire y su peso en agua sean idénticos a los de una pieza de oro real.
Entonces de la ecuación:

$\frac {T_f}{P_f}=1-\frac{\rho_{liquido}}{\rho_f}$
$\frac {T_r}{P_r}=1-\frac{\rho_{liquido}}{\rho_r}$

Igualamos y hacemos algunos pases de magia matemática, para finalmente descubrir que:

$\rho_f=\rho_r$

En otras palabras la única manera de crear oro falso es creando una aleación que tenga la misma densidad que el oro real.

Para simplificar las ecuaciones solo alearemos dos metales. Calculemos entonces la densidad total de la aleación.

$\rho_t=\frac{1}{\frac{i_1}{\rho_1}+\frac{i_2}{\rho_2}}$

En esta ecuación tenemos como incógnita los indices, o proporciones de las mezclas, i₁ e i₂, ya que las densidades son conocidas, por lo tanto necesitamos otra ecuación para despejar estas incógnitas. Como i₁ e i₂ son porcentajes, podemos escribir que:

$\rho_1+\rho_2=1$

Ahora podemos armar la matriz de ecuaciones lineales.

$\begin{bmatrix} 1/\rho_1 & 1/\rho_2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1/\rho_t \\ 1 \end{bmatrix}$

Y despejando por el método del determinante, tenemos que:

$i_1=\frac{\frac{1}{\rho_1}-\frac{1}{\rho_t}}{\frac{1}{\rho_1}-\frac{1}{\rho_2}}$
$i_2=\frac{\frac{1}{\rho_t}-\frac{1}{\rho_2}}{\frac{1}{\rho_1}-\frac{1}{\rho_2}}$

Y ya que i₁ > 0 e i₂ > 0, podemos sacar algunas restricciones de estas dos ecuaciones:

Si ρ₂ > ρ₁

• ρ_t > ρ₁
• ρ₂ > ρ_t

Si ρ₂ < ρ₁

• ρ_t < ρ₁
• ρ₂ < ρ_t

O sea, podemos concluir que ρ_t ∈ [ρ₁, ρ₂], o en otras palabras, necesitamos mezclar un material que sea menos denso que el oro con otro que sea mas denso que el oro.

Materiales menos densos que el oro, hay muchos para elegir, pero los materiales que son mas densos que el oro son solo cuatro:

• Renio
• Osmio
• Iridio
• Platino

Todos ellos, mucho mas caros, difíciles de conseguir y de procesar, si a todo ello sumamos los costes de producción, entonces los costes de la aleación serian mucho mas altos que los del oro puro. Con lo cual la posibilidad de crear oro falso desaparece.

Para mas información pueden visitar estas paginas:

http://www.acienciasgalilei.com/qui/tabla-periodica-de-elementos.gif

http://www.portaloro.com/como_comprobar_la_calidad_del_oro_i.aspx

Bien con esto hemos llegado al final del análisis, y ya podemos concluir que la fabricación de oro falso es imposible y que el Principio de Arquimedes es completamente infalible. Ademas descubrimos que con un simple dinamómetro de resorte y un vaso con agua, es mas que suficiente para revelar una pieza de oro falso.

Espero que les haya gustado, y recuerden que este articulo se publica bajo cc-by-sa, by significa que si lo publican en otras paginas, por favor tengan la gentileza de poner un enlace a mi blog, y de publicarlo bajo la misma licencia, gracias :).